师：同学们，大家好。今天我们一起来学习八年级人教版数学第19章一次函数的图像。首先，来看本节课的学习目标。一是了解函数的三种不同表示方法，并在实际情境中能根据不同需要选择适当的函数表示方法；二是通过具体示例了解简单的分段函数，并能灵活应用。本节课的学习重点是认识函数的三种不同表示方法，并能按需选择适当的表示方法。难点则是函数表示方法的应用和分段函数。接下来，我们在目标指引下展开今天的学习。
同学们都使用过计算器，按照下面程序操作：输入任何一个数，乘以3，再加上1，计算结果为y。当输入数x为 -1时，y为 -2；当x为0时，y等于1；当x等于1时，y等于4。这样我们就得到了一个x与y对应值的表格。
同学们想一想，计算结果y是输入数x的函数吗？为什么？在这个变化过程中，对于输入数x的每一个值，计算结果y都有唯一的值与其对应，所以y是x的函数。那么它的解析式是什么呢？按照刚才操作程序，先将x乘以3，再加上1就得到y，所以这个函数的解析式就是y = 3x + 1。
知道了函数的解析式，通过列表、描点、连线，我们还可以画出这个函数的图像。如图，直线AB就是函数y = 3x + 1的图像。解决完上面的实际问题，我们发现写出函数的解析式，或者列出表格，或者画出函数的图像，都可以表示具体的函数。这三种表示函数的方法分别为解析法、列表法和图像法。
什么是解析法呢？用数学表达式表示两个变量之间对应关系的方法叫做解析法。例如这些都是用解析法表示的函数。利用函数的解析式，我们既可以由x的值计算出对应的y值，也可以由y的值计算出x的值。解析法精确地表示了两个变量的对应关系，便于进行计算和数据分析。
第二种方法是列表法，用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法。如表格1列出了x和y的部分对应值，表格2列出了正方形边长x和面积S的一部分对应值。我们可以从表格中直观看到对应值。列表法简单易行、直观，精确度高，但列表法列出的对应值是有限的，无法将所有值都列出。
第三种方法就是图像法，用图像表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图像法。如图是某两个函数的图像，图一从左到右，图像是上升的，当x由小变大时，y也随之变大。图二是某一天气温与时间的函数图像，从图像可以反映在不同时间段温度的变化情况。图像法直观地反映了变量间变化过程和变化趋势。
通过以上学习，大家能说说三种表示函数的方法各有什么优点吗？函数的三种表示方法各有长处，列表法可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值，对于某些特定数值一目了然，例如火车时刻表；解析法可以从数量关系角度明确自变量与函数的对应关系；图像法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表示的函数，图像能发挥重要作用，如气温与时间的函数。表示函数时要根据具体情况选择适当方法，有时为全面认识问题，需要几种方法同时使用，比如先求出函数的解析式，然后列表格、画出函数图像，观察变量间的变化规律和变化趋势，再概括总结，最后解决问题。
了解了函数的三种不同表示方法，下面我们一起来应用。
例1，一个水库的水位在最近5小时内持续上涨。下表记录了这5小时内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度。
问题1，水位高度y是否为时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图像。阅读表格信息，刚开始时水位高度是3米，t = 1时，y = 3.3；t = 2时，y = 3.6；t = 3时，y = 3.9；t = 4时，y = 4.2；t = 5时，y = 4.5。
从表格信息可以发现，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应。所以说水位高度y是时间t的函数。题目是用列表法表示y与t的函数关系。我们来探究水位高度的变化情况，开始时水位高度是3米，以后每小时水位上涨0.3米，即水位上涨的速度是每小时0.3米，所以水位的高度y就等于开始时水位高度3米加上上涨的高度，而上涨的高度等于上涨速度0.3乘以时间t，即上涨高度为0.3t。
根据这样的规律，y与t的函数关系式可以表示为y = 3 + 0.3t，所以函数的解析式为y = 0.3t + 3。自变量的取值范围是什么呢？因为t表示的是时间，所以t必须大于或等于0。又因为水位在最近5小时内匀速上涨，满足函数解析式的变量t应该小于或等于5小时，所以t的取值范围是0 ≤ t ≤ 5。根据表格中y与t的对应值，可以在平面直角坐标系中描点连线得到函数的图像。因为t最小值是0，最大值是5，所以函数的图像是一条线段，如图线段AB就是这个函数的图像。
问题2，据估计这种上涨规律还会持续两小时，预测再过两小时水位高度将为多少米？由题意可知，水位上涨5小时，后面两小时还会以同样速度匀速上涨，所以再过两小时，y与t的值还会满足函数关系式y = 0.3t + 3。预测再过两小时的水位高度就是求当t = 5 + 2 = 7时，y = 0.3t + 3的函数值，解得y = 5.1米。把函数图像线段AB向右延伸到t = 7所对应的位置，如图，从图中也能看出这时的水位高度约为5.1米。本题根据表格中y与t的变化规律得到函数的解析式，再画出函数的图像。由例1可以看出，函数的不同表示方法是可以相互转化的。比较三种方法，图像法更直观形象地反映了水位的变化规律和变化趋势。