师：同学们好，我是广州市第十三中学张晓霞老师。今天我们要学习的内容是第13讲——二次函数的应用。先来看学习目标：一、利用二次函数解决实际问题；二、掌握二次函数的综合运用。
应用题的解题步骤有：一、审题；二、找数量关系；三、列函数关系式；四、研究函数；五、求相关的值；六、解决问题。
首先我们来看类型一：几何图形的面积问题。请看例一。
师：题目要求矩形的长宽各为多少，有时候我们很难界定矩形的哪一边是长，哪一边是宽，不妨给它标上字母a、b、c、d。我们可以设AB为未知数，也可以设BC为未知数。老师这里先给出第一种解法：设AB为s米，面积为y平方米。AB和CD都用s来表示，那么BC的长怎么表示呢？要注意题目中给出的条件：一边靠墙，也就是说只需要围三条边，总长度为60米，那么BC就可以表示为60减去2s。
根据矩形的面积公式，y等于s乘以(60-2s)。我们把这个式子整理成一般形式：y=-2s²+60s。注意到题目要求最大面积，我们可以通过配方把它变成y=-2(s-15)²+450。从这个解析式可以看出，当s=15时，y有最大值450。那么最大面积是不是就是450了呢？还要注意题目给出的另一个条件：墙的长度是32米。当s=15时，BC边长60-2s等于30，它小于32，满足条件。所以当s=15时，最大面积为450平方米。
答：长为30米，宽为15米时，面积最大为450平方米。
师：第二种解法：假如我设BC为s米，矩形面积仍然用y来表示，那么AB和CD边分别怎么表示？同样要留意一边靠墙，总长度为60米，所以AB和CD都可以用(60-s)/2来表示。根据矩形的面积公式，y=s×(60-s)/2。最后把它化成y=-1/2(s-30)²+450。可以看出当s=30时，y最大值是450。面积是否就是450？同样要注意条件的限制：墙的长度是32米，s=30时小于32，满足条件。所以s=30米时，面积最大为450平方米。此时可以求出另一边(60-s)/2等于15。
答：长为30米，宽为15米时，面积最大为450平方米。
师：我们再来看一下变式。同学们是不是觉得这个变式跟例题一样？有些同学眼睛很亮，发现有一些地方不一样。好，请看：这时候墙的长度变成了28米。我们可以用刚才的两种方法来解决，老师用其中一种方法来假设。我依然设BC为s米，AB和CD的边依然可以用(60-s)/2来表示。根据矩形的面积，y依然可以用s×(60-s)/2来表示。整理一下也可以化成y=-1/2(s-30)²+450。那么这个式子中，当s=30时，y有最大值450。是否面积跟前面的例题一样都是450？要注意它的墙长是28米，s必须小于等于28。
师：来看y=-1/2(s-30)²+450这个抛物线，它是一个开口向下的抛物线，顶点为(30,450)。我们需要的s取值是小于等于28，也就是在s=28的左侧。我们知道这个抛物线的对称轴是直线s=30，在对称轴左侧，也就是s≤30时，y随s的增大而增大。根据s的取值范围和函数图像的增减性，我们可以看出，当s等于多少时y有最大值？
生：当s=28的时候。
师：对，当s=28时，y有最大值。代入解析式可以求出y=448。此时也可以算出(60-s)/2等于16。
答：长为28米，宽为16米时，面积最大为448平方米。
师：做完这些题，我们来归纳一下：几何面积的最值问题，关键是要建立函数关系式，并注意最值是否在顶点取得。
师：接下来看类型二：商品利润问题。先看一段生活小知识。
师：看完我们可以知道，每件利润为60-40=20元，总利润为20×300=6000元。这里涉及到的数量关系有：一、每件利润=售价-进价；二、总利润=每件利润×销售量。
我们来看例2。题目的文字很多，我们要抓住一些关键的字眼：第一个，它的进价40元；第二，销售价50元，此时销售量200件；他要提高售价来提高销售利润，每涨价1元将减少10件。
第一问：当销售价为52元的时候，销售数量是多少？我们知道每涨价1元，数量减少10件。52元相对于原售价50元涨了2元，那么数量就会减少20件，此时销售量应该为200-20=180。
第二问：销售价s为多少时，获得的利润y最大？我们知道总利润可以用每件利润乘以销售量来表示。如果我们能够用s的式子表示每件的利润以及销售量，那么y的式子就可以求出来了。这一类应用题，老师推荐用表格来理清题目中的数量关系。
师：每件利润=售价-进价。在涨价之前，每件利润用50-40=10元来表示，销售量是200，每天的利润用10×200=2000元。涨价后，售价为s，进价依然为40，那么每件利润就可以表示为s-40。