师：今天我们一起来学习人教版八年级数学第11章平面镶嵌。先来看看学习目标：一、理解平面镶嵌的概念；二、理解多边形能够平面镶嵌的条件，体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题思路与方法。在日常生活中，地砖铺地、瓷砖贴墙、美丽壁纸设计、密封的蜂巢等图案，都蕴含着有趣的数学知识，这节课我们就共同探究这类问题。
大家观察这四幅图以及下面两幅图，思考在镶嵌时有什么共同特点？
生：用于拼接的图案都是平面图形。
生：拼接处没有空隙、没有重叠，铺成的图案把一个平面完全覆盖。
师：非常好，由此我们得出平面镶嵌的概念：用大小、形状完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形平面覆盖或平面镶嵌。通过这个概念，我们能得到平面镶嵌的两个条件：一是形状大小完全相同的一种或几种平面图形；二是无缝隙、不重叠地铺成一片。
现在，我们利用这个概念对下面两幅图进行判断。
生：第一幅图图形在拼接时有空隙，第二幅图图形在拼接时有重叠，所以这两幅图都不是平面镶嵌。
师：那什么样的图形才可以进行平面镶嵌呢？接下来我们探究一种正多边形平面镶嵌。大家分别剪一些边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等。如果取其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形可以镶嵌成一个平面图形？我们从边数较少的正三角形入手，根据镶嵌的概念，把6个全等的三角形共顶点拼接，会发现无缝隙、不重叠。从代数理论方法验证，正三角形每个内角60度，六个角之和为360度，所以正三角形可以进行平面镶嵌，以此作为基本图形，可以把平面进行覆盖。
接着看看正方形的情况，从形的角度看，四个正方形共顶点拼接，无缝隙、不重叠。从代数理论方面讨论，正方形每个角90度，共顶点处四个角之和360度，因此正方形可以进行平面镶嵌。同学们，看看你脚下的地砖是不是类似这种平面镶嵌。
那对于正五边形来说，同学们尝试画一画、摆一摆、算一算，正五边形能进行平面镶嵌吗？
生：通过实验操作，3个正五边形共顶点拼接有缝隙。
师：我们用代数方法验证一下，正五边形每个内角108度，三个108度一共是324度，比360度小；四个正五边形共顶点拼接一共是432度，比360度大，有重叠，所以正五边形不能平面镶嵌。
对于正六边形，每个内角120度，显然三个120度就可以围成360度，因此正六边形可以平面镶嵌。还有正七边形、正八边形、正九边形等等多边形，这里我们就不逐一分析列举了。
根据以上实验操作结果分析，正三角形每个内角60度可以进行平面镶嵌，正四边形每个内角90度可以平面镶嵌，正六边形每个内角120度可以平面镶嵌，而正五边形每个内角108度不能平面镶嵌，正七边形每个内角(\frac{900}{7})度不能平面镶嵌，正八边形每个内角135度不能平面镶嵌。由此我们归纳出只用一种正多边形能进行平面镶嵌的条件是共顶点处能拼成360度。同时，只用一种正多边形进行平面镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形不能。
如果用两种正多边形进行平面镶嵌，来看问题三，在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以镶嵌成一个平面图形？同样从边数较少的正三角形和正方形入手，两种图形边长相等。根据镶嵌条件和前面的探究方法，用这两种图形共顶点拼接可以拼成360度吗？如果能，又是怎样的拼接方式？