师：同学们，大家好。今天我们一起来学习第21章第二节解一元二次方程，第一课时直接开平方法。本节课的学习目标是会用直接开平方法解形如(x^{2}=p)或((x + n)^{2}=p)（(p\geq0)）的一元二次方程，理解一元二次方程降次转化的数学思想。本节课的重点是通过平方根解形如(x^{2}=p)或((x + n)^{2}=p)（(p\geq0)）的一元二次方程。
我们先来回顾一下，之前学过哪些方程，又是如何解这些方程的？初一的时候，我们学习了一元一次方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解；还学习了二元一次方程组，通过消元把它转化为一元一次方程求解；另外，我们也学过分式方程，通过去分母把它转化为一元一次方程求解。现在要学习一元二次方程，又该怎么求解呢？今天我们就来学习通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程进行求解。
我们再来回顾一下平方根的意义和性质。一般地，如果一个数的平方等于(a)，那么这个数叫做(a)的平方根。即如果(x^{2}=a)，那么(x)叫做(a)的平方根，(a)的平方根记作(\pm\sqrt{a})。正数有两个平方根，它们互为相反数；(0)的平方根是(0)；负数没有平方根。
接下来看问题：一桶油漆可刷的面积为1500平方分米，李玲用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，能算出盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为(x)分米，则这个盒子的表面积为(6x^{2})平方分米。根据一桶油漆可刷的面积列出方程(10×6x^{2}=1500)，根据乘法结合律得(60x^{2}=1500)，方程两边同时除以(60)，整理得(x^{2}=25)。
根据平方根的意义，(x)是(25)的平方根，所以(x = \pm5)，即(x_{1}=5)，(x_{2}=-5)。可以验证(5)和(-5)是方程的两个根。因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为(5)分米。由此可知，用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义。
由这道题可得出概念：一般地，对于方程(x^{2}=p)（(p\geq0)），根据平方根的意义可以解得(x_{1}=-\sqrt{p})，(x_{2}=\sqrt{p})。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
下面我们一起来学习用直接开平方法解一元二次方程。先看第一小题，(x^{2}=3)，与(x^{2}=p)（(p\geq0)）的形式相同。根据平方根的意义，(x)是(3)的平方根，所以可以直接开平方得(x = \pm\sqrt{3})，即(x_{1}=\sqrt{3})，(x_{2}=-\sqrt{3})。
观察这道题目的特点，方程左边是(x^{2})，二次项系数是(1)，一次项系数是(0)，常数项(-3)移到了等号右边。所以方程左边是平方项，右边是非负常数，具有这样特征的式子，可以用直接开平方法求解。
再看第二小题，(5x^{2}=125)。对比第一小题，第一小题二次项系数是(1)，这道题二次项系数是(5)，所以把二次项系数化为(1)，得(x^{2}=25)。根据平方根的意义，(x)是(25)的平方根，所以直接开平方得(x = \pm5)，即(x_{1}=5)，(x_{2}=-5)。
第三小题，同学们看题目的特点，这是一元二次方程的一般形式，二次项系数是(2)，一次项系数是(0)，常数项是(-8)。对比第一小题，同样二次项系数不为(1)，一次项系数是(0)，常数项在等号右边。所以先移项，得到(2x^{2}=8)，把二次项系数化为(1)，得(x^{2}=4)。根据平方根的意义，直接开平方得(x = \pm2)，即(x_{1}=2)，(x_{2}=-2)。
第四小题，同学们观察一下题目的特点。二次项系数是(5)，一次项系数是(0)，常数项是(0)，所以先将二次项系数化为(1)，方程两边同时除以(5)，得(x^{2}=0)。根据平方根的意义，直接开平方，得方程有两个相等的实数根，(x_{1}=x_{2}=0)。
第五小题，同学们也观察一下题目的特点。二次项系数是(1)，一次项系数是(0)，常数项是(4)。对比第一小题，要移项，把常数项移到等号右边，得到(x^{2}=-4)。同学们思考一下，有哪个实数的平方等于(-4)吗？因为实数的平方不会是负数，所以(x)取任何实数时，(x^{2})都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
第六小题，(x^{2}=p)，与第一小题类似。同学们思考一下，(p)可以取什么值？(p)作为一个字母参数，可以是正数、(0)或者负数，那么(p)的不同取值范围对一元二次方程的求解有什么影响呢？
一般地，对于方程(x^{2}=p)，当(p\gt0)时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根(x_{1}=-\sqrt{p})，(x_{2}=\sqrt{p})；当(p = 0)时，方程有两个相等的实数根(x_{1}=x_{2}=0)；当(p\lt0)时，因为对任意实数(x)都有(x^{2}\geq0)，所以方程无实数根。
结合例1的6个小题，我们小结一下，能够用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征。形如(x^{2}=p)（(p\geq0)）的一元二次方程，可以用直接开平方法求解。也就是说，通过移项、二次项系数化为(1)，把方程化为等号一边是未知数的平方，等号另一边是非负常数的形式，就可以用直接开平方方法求解，此时一次项系数为(0)。
下面我们学习例2，解下列方程。
第一小题，((x - 1)^{2}=5)，与例1不同，它不是一元二次方程的一般形式。等号左边是((x - 1)^{2})，右边是(5)。如果把(x - 1)看作一个整体，那么它也符合等号一边是未知数的平方，另一边是非负常数的特征。所以根据平方根的意义，(x - 1)是(5)的平方根，可以用直接开平方法解得(x - 1 = \pm\sqrt{5})。这样就得到两个一元一次方程(x - 1=\sqrt{5})或(x - 1=-\sqrt{5})。分别解这两个一元一次方程得(x_{1}=1 + \sqrt{5})，(x_{2}=1 - \sqrt{5})。