师：同学们好，今天我们来学习初二级人教版数学第19章一次函数与方程不等式。首先看本节课学习目标：第一，认识一次函数与一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义；第二，经历用函数图像表示方程不等式解的过程，进一步体会以形表示数、以数解释形的数形结合思想。本节课重点是理解一次函数与二元一次方程组的联系，难点是把一次函数图像上点的坐标与方程组的解建立联系。
下面我们以具体函数为例，比如(y = -x + 2)，用方程眼光看，它就是二元一次方程(x + y = 2)；反过来，用函数眼光看，方程可转化为(y = -x + 2)。画出函数图像，会发现图像上每个点的坐标刚好对应方程的一个解，反过来，方程的解也刚好对应函数图像上的一个点，所以一次函数图像上的点坐标与二元一次方程的解是一一对应的。
那么一元一次方程、一元一次不等式，还有二元一次方程组与一次函数之间又有怎样的关系呢？接下来我们分三个部分探究。
首先研究一次函数与一元一次方程的关系。大家观察下面三个方程，看看有什么共同点和不同点。
生：它们的共同点是等号左边都相同，只有等号右边的数字不同。
师：没错，另外请大家先把方程的解都求出来。答案是这样的，由于这三个方程左边都是(2x + 1)，右边不同，所以这个方程可以看作是一次函数(y = 2x + 1)，当函数值(y)分别是(3)、(0)和(-1)的时候，求函数自变量(x)的值。我们画出图像，并在图像上分别找到纵坐标为(3)、(0)和(-1)的点，写出它们的坐标。可以发现这些点的横坐标与方程的解相同，纵坐标与每个方程的右边相同。再用动态图观察图像上其他点，正如刚才所说，一次函数图像上的点坐标与二元一次方程的解一一对应，这里一次函数与一元一次方程也存在对应关系。只要一次函数与方程左边对应起来，当函数值(y)与方程右边的值相同时，自变量(x)的值就与方程的解一一对应。所以求函数图像上点的坐标与求方程的解，实际上是同一个问题在不同观点下的不同说法。
举个例子，思考这道题：求函数(y = 3x + 2)与(x)轴交点坐标。画出函数图像，这个点坐标不容易看出来，我们把求坐标的题目看成求方程的解的题目。因为求的是(x)轴交点坐标，该点纵坐标是(0)，所以让函数值(y = 0)，求方程(3x + 2 = 0)的解，最后解得(x = -\frac{2}{3})。所以函数图像与(x)轴的交点坐标为((-\frac{2}{3}, 0))。
再反过来举个例子，在给出函数图像的条件下求下列两个方程的解。显然这两个方程(k)和(b)都不知道，求方程的解有困难。这时我们把求方程解的题目看成在图像上求坐标的题目。第一小题，这里等于(3)，就是要在图像上找到纵坐标为(3)的点，观察图像，纵坐标为(3)的点在这里，它的横坐标是(-1)，所以这个方程的解是(x = -1)。同样方法，要找到图像上纵坐标为(0)的点，这个点刚好是图像与(x)轴的交点，它的横坐标是(2)，所以这个方程的解是(x = 2)。这就是利用图像上点的坐标求一元一次方程解的方法。实际上，任意一个关于(x)的一元一次方程都可以变形为(kx + b = 0)的形式。要解这样的一元一次方程，我们可以把它转化为一次函数(y = kx + b)，当函数值(y = 0)时，求自变量(x)的值，也就是找函数图像与(x)轴交点的横坐标。
下面学习第二部分内容，看看一次函数与一元一次不等式之间的关系。首先思考，下面三个不等式有什么共同点和不同点？
生：它们不等号左边都一样，不等号本身以及不等号右边不一样。
师：现在我们尝试把这三个不等式的解集求出来。这三个不等式的解集是这样的，跟刚才一样，这三个不等式可以看成是一次函数(y = 3x + 2)，当函数值(y)大于(0)、(y)小于(0)以及(y)小于(-1)时，求自变量(x)的取值范围。我们先画出一次函数的图像，观察图像上所有纵坐标(y)大于(0)的点，绿色这部分图像就是纵坐标大于(0)的部分，这部分点的横坐标取值范围是多少呢？从这里开始，随着点(A)从左向右移动，它的纵坐标(y)越大，横坐标(x)也在增大，所以横坐标(x)的取值范围是(x > - \frac{2}{3})，这跟刚才第一个解集是一样的。接下来观察第二个，所有纵坐标(y)小于(0)的点，蓝色这部分图像就是纵坐标小于(0)的部分，这部分点的横坐标取值范围是多少呢？从这里开始，随着点(A)从右向左移动，它的纵坐标(y)越小，横坐标(x)也在减小，所以横坐标(x)的范围是(x < - \frac{2}{3})，这跟刚才第二个解集是一样的。最后观察第三个，所有纵坐标(y)小于(-1)的点，紫色这部分图像就是纵坐标小于(-1)的部分，这部分点的横坐标取值范围是多少呢？从这里开始，随着点(A)从右向左移动，它的纵坐标(y)越小，横坐标(x)也在减小，所以横坐标(x)的范围是(x < -1)，这跟第三个解集是一样的。现在归纳一下这三种情况，求不等式的解集和求函数图像上点坐标的取值范围，实际上是同一个问题在不同观点下的不同说法，它们可以互相转化。
接下来看具体例子，这是刚才做过的练习，我们已经知道一元一次方程的解以及它们的函数图像，现在把方程改为不等式，怎么求出它的解集呢？要求这个不等式，就要在图像中找答案。不等式大于(3)，就要找纵坐标(y)大于(3)的图像。观察图像找到纵坐标为(3)的点，比(3)大的部分就是上面黄色这部分。要求不等式的解集，就要找出这部分图像的横坐标取值范围，这部分图像全部都在横坐标(-1)的左边，所以答案是(x < -1)。同样方法，再看第二小题。这里不等式小于(0)，就是要找到纵坐标(y)小于(0)的图像。在这个图像中，纵坐标为(0)的点在这里，比(0)小的部分就是下面黄色这部分。请同学们思考一下这部分图像的横坐标取值范围是多少呢？这部分图像全部都在横坐标(2)的右边，所以答案是(x > 2)。这道题告诉我们怎么利用图像求一元一次不等式的解集。实际上以后遇到任意一个关于(x)的一元一次不等式，都可以变形为第二小题这种不等式右边是(0)的形式。要解这样的一元一次不等式，都可以转换成一次函数，求(y = kx + b)的函数值大于(0)或小于(0)时，自变量(x)的取值范围。
下面学习第三部分内容，看看一次函数与二元一次方程组之间的关系。首先直接求出下面方程组的解。
生：（给出答案）
师：根据刚才的学习，我们知道二元一次方程与一次函数可以互相转化，所以这个方程组也跟这两个一次函数可以互相转化。同时我们知道对于每一个方程，它的解与函数图像上点的坐标都是一一对应的。那这两个方程的公共解，也就是这个方程组的解，对应这两个函数图像的哪个部分呢？我们把图像画出来，同学们发现了吗？这里函数的图像交点坐标刚好对应这个方程组的解。以后如果要求方程组的解，我们可以借助函数图像从它们的交点坐标找到答案；反过来，要求两个函数的交点坐标，也可以通过求方程组的解把答案计算出来。
以上三个部分我们学习了一次函数分别与一元一次方程、一元一次不等式，还有二元一次方程组的关系。我们可以从数的角度把函数问题转化为方程或不等式来求解，反过来也可以从形的角度把解方程、解不等式、解方程组的问题转化到函数图像中寻找答案。接下来通过练习巩固刚才的知识，请同学们思考并解答下面的问题。
这里有(3)个小题，都需要从形的角度用图像解决问题。第一小题需要找到纵坐标为(0)的点，也就是(x)轴上的点，这里横坐标为(-5)，所以答案是(x = -5)。第二小题需要找到纵坐标大于(0)的部分，从刚才的点出发，黄色部分就是(y > 0)的区域，这部分图像在(-5)的右边，所以答案是(x > -5)。第三小题需要找到(y < 3)的部分，图中绿色部分就是要找的区域，这部分点的横坐标都小于(0)，所以答案是(x < 0)。
再看第二题，这题在上节课做过。我们先画出图像，要求三角形(AOB)的面积，就要知道(AO)和(BO)的长度，也就是需要知道点(A)和点(B)的坐标，它们的坐标在图像上看不出来，需要从数的角度通过解方程求出来。我们分别让(y = 0)，(x = 0)，把函数转变为方程进行求解，得到点(A)坐标为((2, 0))，点(B)坐标为((0, 4))，所以(AO)和(BO)的长度分别为(2)和(4)。最后可以得到三角形(AOB)的面积是(4)。
接下来看第三题。第一小题要求它们的交点坐标，就要从数的角度求出方程组的解。通过计算，方程组的解是(x = 1)，(y = -1)，所以它们的交点坐标是((1, -1))。第二小题让我们求(Y_1 > Y_2)时，自变量(x)的取值范围。一方面，这题可以直接从数的角度算出答案，结果是(x > 1)；另一方面，这题也可以从形的角度，通过观察图像找出答案。从第一小题可知，(Y_1 = Y_2)的部分就是两直线的交点，这时(x = 1)，所以(Y_1 > Y_2)的部分就是图中所显示的区域，因为红色(Y_1)的图像全部都在蓝色(Y_2)的图像上方，这部分图像全部都在(x = 1)的右边，所以自变量(x)的取值范围是(x > 1)，两种方法答案一样。这道题再次告诉我们，图像交点的位置就是它们函数值(y)相等的地方，这个点的坐标与方程组的解对应。同时通过观察图像，也可以找到形如(Y_1 > Y_2)或(Y_1 < Y_2)的自变量(x)的取值范围。
最后，我们一起回顾本节课所学内容。一次函数与二元一次方程是不同观点下的两种形式，所以函数图像上点的坐标与方程的解一一对应。然后通过三个部分以数形结合的思想学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组之间的关系。从数的角度看，函数图像与坐标轴的交点、函数图像之间的交点，还有特定区域函数图像上函数值与自变量的取值范围，都可以转化到一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式的求解上；反过来，从形的角度看，求它们的解或解集都可以转化到函数图像上寻找答案。以上就是我们这次学习的全部内容。课堂到此结束，谢谢大家！