师：同学们，在学习本节课内容之前，我们已经学过两种特殊的平行四边形——矩形和菱形。作为最后一种特殊的平行四边形，正方形有哪些特殊性质？又该如何判定呢？接下来我们一起开展今天的探究学习。
首先，来看本节课的学习目标。一是了解正方形的概念，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；二是探索并掌握正方形的性质和判定方法，会运用它们进行计算和证明。
同学们，正方形我们从小学就很熟悉，它的性质大家大概都能说出。接下来我们进一步深入研究。研究一个几何图形的性质，一般从边角、对角线这三个角度入手。
从边的角度看，正方形四边相等，这和菱形的特殊性质一致，所以正方形是特殊的菱形。用符号语言表示：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB = BC = CD = DA 。
从角的角度，正方形的四个角都等于 90 度，这与矩形的性质相同，即正方形还是特殊的矩形。符号语言：因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
接着看正方形的对角线。连接对角线 AC 和 BD ，能看到图形中有多个等腰直角三角形。由菱形性质可知正方形对角线互相垂直，由矩形性质可知正方形对角线相等，作为特殊平行四边形，其对角线还互相平分。所以正方形对角线的性质是相等且互相垂直平分。符号语言：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC = BD ，AC⊥BD ，AO = BO = CO = DO 。
我们把正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形对比。四边相等是正方形和菱形共有的边的性质；四个角相等是正方形和矩形共有的角的性质；正方形对角线垂直、相等、平分，分别是平行四边形对角线互相平分、矩形对角线相等、菱形对角线垂直这三者的综合。这表明正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，平行四边形、菱形有的性质，正方形都有。
从图形变化角度看正方形的对称性，正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别在过正方形两对角线交点的水平方向、竖直方向以及两对角线所在直线方向上，“四面八方”这个词很形象地形容了其对称轴特点。
下面看一道例题：求证正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。画出图形，写出已知和求证。已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 和 BD 相交于点 O 。求证：△ABO、△BCO、△CDO 和△DAO 是全等的等腰直角三角形。观察图形，由正方形对角线互相垂直可知，在 O 点处四个角都是 90 度。再由正方形对角线相等且平分可知，AO = BO = CO = DO ，这样等腰直角三角形以及全等关系就很明显了。
简要证明过程：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC = BD ，AC⊥BD ，AO = BO = CO = DO 。所以△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，且这四个三角形全等。
再观察图形，图中共有 8 个等腰直角三角形。除了刚才证明的 4 个，还有△ABC、△ADC、△BAD 和△BCD 。同学们可以通过勾股定理或全等证明这四个等腰直角三角形互相全等，也可以从轴对称角度找到它们。
学习了正方形的性质，再来看正方形的判定。之前学习矩形和菱形判定时，通常由它们的性质推演出判定方法，我们也用同样思路来推演正方形的判定方法。
从边的角度，正方形四边相等，逆向推导，四边相等的四边形只是菱形，不是正方形；从角的角度，正方形四个角是直角，逆向推导，四个角是直角的四边形是矩形，不是正方形。那对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形吗？好像可以，但仅从性质推演判定方法不够系统。