师：同学们，大家好。今天我们学习人教版九年级数学第21章一元二次方程根与系数的关系。本节课的学习目标：一是了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单应用；二是在探究该关系的过程中，体会从特殊到一般认识事物的数学方法。学习重点是一元二次方程根与系数的关系及其推导过程。
首先看问题一：长方形的长和宽为方程(x^2 - 3x + 1 = 0)的两个实根，求该长方形的周长和面积。要求出方程的解，观察方程系数特点，我们选用公式法。使用公式法求一元二次方程的解，首先要确定(a)、(b)、(c)的值，再求(\Delta)判断方程是否有实数根，最后代入求根公式。得到(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2})，(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2})。再代入长方形的周长公式(2\times(x_1 + x_2))进行计算，最后得到周长等于(6)；长方形的面积为(x_1\times x_2)，代入计算得到面积等于(1)。
同学们有没有留意，(3)和(1)这两个数字也在方程里出现，这是巧合，还是其他一元二次方程也会有这样的情况呢？一元二次方程根与系数又有怎样的关系？接下来我们继续研究。
设(x_1)，(x_2)是下列方程的两根。请填下列的表格，请同学们按暂停键完成后再继续。请同学们核对答案，观察所填的数，对于(x_1 + x_2)，(x_1\times x_2)这两个值，结合方程各项的系数，你发现了什么？不难发现(x_1 + x_2)的值和方程的一次项系数互为相反数，(x_1\times x_2)的值等于方程的常数项。那你能证明你发现的结论吗？下面我们来看一下具体的证明过程。
设(x_1)，(x_2)是关于(x)的一元二次方程(x^2 + px + q = 0)的两个根。它的两个根(x_1)，(x_2)的和、积与系数又有怎样的关系呢？既然是一元二次方程根的问题，我们可以联想到因式分解法，方程((x - x_1)(x - x_2) = 0)的两个根是(x_1)、(x_2)，而题目给出的方程(x^2 + px + q = 0)，它的两根也是(x_1)、(x_2)。所以我们可以得到((x - x_1)(x - x_2) = x^2 + px + q)，得到这个等量关系后，我们把方程左侧去括号、合并同类项，得到(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = x^2 + px + q)，就可以得到(x_1 + x_2 = -p)，(x_1x_2 = q)。也就是说，一元二次方程二次项系数为(1)时，两个根的和等于一次项系数的相反数，两个根的积等于常数项。
如果二次项系数不为(1)，形如(Ax^2 + Bx + C = 0)方程的根与系数又有没有上述的关系呢？
问题三：设(x_1)，(x_2)是关于(x)的一元二次方程(Ax^2 + Bx + C = 0)（(A\neq0)）的两个根，它的两个根(x_1)，(x_2)的和、积与系数又有怎样的关系？既然二次项系数不为(1)，我们可以用转化思想，将二次项系数化为(1)。方程两边同时除以(A)，得到(x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0)。根据刚才所学二次项系数为(1)的一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。所以我们可以得到(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A})，(x_1\times x_2 = \frac{C}{A})。
除此之外，我们还有没有其他的证明方法？一元二次方程的求根公式是含有(A)、(B)、(C)的式子，把两根相加，分母不变，分子相加，(\sqrt{B^2 - 4AC})与(-\sqrt{B^2 - 4AC})互相抵消，得到(\frac{-2B}{2A})，约分后得到(-\frac{B}{A})，所以可以得到(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A})。
(x_1\times x_2)，分母得到(4A^2)，分子出现了两组和乘以两组差的形式，我们可以选用平方差公式得到(\frac{(-B)^2 - (\sqrt{B^2 - 4AC})^2}{4A^2})，进行化简，最后得到(\frac{C}{A})。所以我们就可以得到一元二次方程根与系数的关系：如果关于(x)的一元二次方程(Ax^2 + Bx + C = 0)（(A\neq0)）的两个根是(x_1)、(x_2)，则有(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A})，(x_1\times x_2 = \frac{C}{A})。也就是说，一元二次方程有两个根，即(\Delta\geq0)，找出一元二次方程(A)、(B)、(C)的值，就可以得到两根之和与两根之积，找出(x_1)、(x_2)与(A)、(B)、(C)的关系。