师：同学们，今天我们一起来学习九年级人教版数学第27章相似三角形的判定三。本节课的学习目标是：一、理解相似三角形的判定定理，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；二、会运用判定定理判定两个三角形相似并解决简单问题；三、经历找对应边的过程，感受分类讨论思想。本节课的学习重点是会运用判定定理判定两个三角形相似，并解决简单问题。
同学们，八年级上学期我们学习了全等三角形，还记得全等三角形的判定方法吗？
生：有角边角、边角边和斜边直角边方法。
师：对。在学习全等三角形的基础上，我们又学习了相似三角形。那什么是相似三角形呢？
生：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形就是相似三角形。
师：没错。我们已经学了两种相似三角形的判定方法，分别是：方法一，平行法，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；方法二，三边关系，三边成比例的两个三角形相似，这一判定方法类似于判定三角形全等的“边边边”方法。
这一节课我们继续来研究相似三角形的判定方法。类似于全等三角形的“边角边”方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？带着这个疑问，我们结合图形写出已知、求证。已知：如图，在三角形ABC和三角形A'B'C'中，AB : A'B' = AC : A'C'，且∠A = ∠A'。
求证：三角形ABC相似于三角形A'B'C'。要解决这一个问题，我们可以参考三边成比例的两个三角形相似的证明方法，也就是构建一个中介三角形，使得这个中介三角形与三角形A'B'C'相似，又与三角形ABC全等。这样我们就可以推导出三角形ABC相似于三角形A'B'C'了。
那么这个中介三角形如何去构造呢？
生：可以在大三角形A'B'C'的边A'B'上截取A'D = AB，然后再过点D作DE平行于B'C'。
师：非常好。根据相似三角形的第一种判定方法平行法，我们就有三角形A'DE相似于三角形A'B'C'。根据相似三角形的对应边成比例，我们得到A'D : A'B' = A'E : A'C'。而题目又告诉我们，AB : A'B' = AC : A'C'。再加上构造中介三角形时，我们截取的A'D = AB，所以两个比例式的左边是相等的，于是我们就得到右边也相等。这时新的比例式分母都是A'C'，所以分子A'E = AC了。又因为∠A = ∠A'，A'D = AB。根据“边角边”的判定方法，我们就可以知道，三角形A'DE全等于三角形ABC了。所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'。通过证明，我们得到结论，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。这就是我们今天要学习的相似三角形的判定定理。几何语言表述为：因为AB : A'B' = AC : A'C'，且∠A = ∠A'，所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'。
下面请同学们思考，如果我们把已知条件中的∠A = ∠A'，改成∠B = ∠B'，那么这两个三角形还相似吗？我们可以通过画图来验证一下。请看图形，正如我们现在看到的这两个三角形ABC和A'B'C'，它们是相似的。接下来我们把三角形A'B'C'的边A'C'绕着顶点A'顺时针旋转。当C'再次回到原来的直线上时，构成了一个新的三角形A'B'C'，仍然满足AB : A'B' = AC : A'C'，∠B = ∠B'。
那么这时的三角形A'B'C'与三角形ABC相似吗？
生：不一定相似。
师：对，所以我们得到以下结论，两边成比例，且其中一边的对角相等，这样的两个三角形不一定相似。
下面请看例一。根据下列条件判断三角形ABC和三角形A'B'C'是否相似，并说明理由。∠A = 120°，AB = 7cm，AC = 14cm；∠A' = 120°，A'B' = 3cm，A'C' = 6cm。
下面我们先根据已知条件画出图形，观察图形我们可以发现∠A和∠A'刚好是已知两边的夹角，经过计算我们得到三角形ABC相似于三角形A'B'C'。理由如下，因为AB : A'B' = 7 : 3，AC : A'C' = 14 : 6，约分后也等于7 : 3。所以AB : A'B' = AC : A'C'。又因为∠A = ∠A' = 120°，根据两边成比例且夹角相等，所以三角形ABC相似于三角形A'B'C'。运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定三角形相似时，关键是找出对应边和相等的角。找对应边的方法是，长边比长边，短边比短边，而相等的角必须是成比例两边的夹角。
巩固练习：图中两个三角形是否相似？为什么？
生：三角形ABC相似于三角形EDC。理由如下，因为BC : DC = 45 : 30，约分得3 : 2，AC : EC = 54 : 36，约分也等于3 : 2，所以BC : DC = AC : EC。认真观察图形，我们还发现对顶角∠ACB和∠ECD刚好是成比例两边的夹角，对顶角相等。所以三角形ABC相似于三角形EDC。
师：同学们，你做对了吗？下面请看例2，如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，而且AB×AD = AE×AC，AE = 4，AB = 8，DE = 5。求BC的长。我们从问题入手，结合已知的三条线段长观察图形，发现其中AE和DE是三角形ADE的边，而AB和要求的线段BC是三角形ABC的边，这两个三角形有什么关系呢？它们相似吗？我们再回到题目，寻找条件，发现题目当中有一个等式，这个等式的两边都是积的形式，我们把它称为等积式。