师：同学们，大家好。今天我们一起来学习二次函数(y = a(x - h)^2)的图像与性质。本节课有三个学习目标：一是用描点法画出二次函数(y = a(x - h)^2)的图像；二是能根据二次函数(y = a(x - h)^2)的图像判断函数的性质；三是能根据图像归纳出二次函数(y = ax^2)与(y = a(x - h)^2)的平移变化规律。
在学习新课之前，我们先来复习上节课所学内容。上节课我们主要学习了抛物线(y = ax^2 + k)的图像与性质，以及(y = ax^2 + k)与二次函数(y = ax^2)的平移变化规律。
以(a > 0)为例，当(a > 0)时，抛物线(y = ax^2 + k)开口方向向上，对称轴为(y)轴，即直线(x = 0)，顶点坐标为((0, k))。在对称轴左侧，即(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。开口向上，在顶点处取得最小值，即当(x = 0)时，(y)有最小值(k)。
上节课的第二个重点内容是(y = ax^2 + k)与(y = ax^2)之间的平移变化规律。我们总结为四字口诀：上加下减，即(y = ax^2)可以通过上下平移得到(y = ax^2 ± k)。
接下来进入本节课内容，探索新知一：抛物线(y = a(x - h)^2)的图像与性质。
我们以(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像为例，首先用描点法画它的图像，主要分三步：
第一步列表，对二次函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的自变量(x)进行取值，取(7)个值，并对应得到(x)所对应的函数值。
第二步描点，在平面直角坐标系中，依次用虚垂线描出以上各点。
第三步连线，用光滑的曲线把以上各点依次连接，由此得到二次函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像。
通过图像来得到二次函数的性质，我们一般从五个角度归纳总结，分别为开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及最值。
由图可得，二次函数(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)开口向下，对称轴为直线(x = 1)，顶点坐标为((1, 0))。在对称轴左侧，即(x < 1)时，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，即(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小。开口向下，在顶点处取得最大值，即当(x = 1)时，(y)有最大值(0)。
我们继续来看活动二：画出二次函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像。同样采取描点画图法：
第一步列表，对自变量进行取值，并对应得到函数值。
第二步描点，在平面直角坐标系中顺次描出各点。
第三步连线，用光滑的曲线把以上各点连接。同样从五个角度归纳它的性质：开口方向向下，对称轴为直线(x = -1)，顶点坐标为(( -1, 0))。在对称轴左侧，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，(y)随(x)的增大而减小。开口向下，在顶点处取得最大值，即当(x = -1)时，(y)有最大值(0)。
以上两个例子都是(a < 0)的情况，接下来看(a > 0)时，以二次函数(y = \frac{1}{2}(x + 1)^2)与(y = \frac{1}{2}(x - 1)^2)为例，同样采用描点画图法，对自变量进行取值，并对应得到两个二次函数的函数值，在平面直角坐标系中依次描出以上各点。
先看(y = \frac{1}{2}(x - 1)^2)，用虚垂线描点，用光滑的曲线连接，得到(y = \frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像。再画(y = \frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像，描点并用光滑的曲线连接。
根据这两个图像观察总结性质，从五个角度看：开口方向，当(a > 0)时，开口向上。
(y = \frac{1}{2}(x - 1)^2)的对称轴为直线(x = 1)，顶点坐标为((1, 0))，增减性为在对称轴左侧，即(x < 1)时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > 1)时，(y)随(x)的增大而增大。开口向上，在顶点处取得最小值，即当(x = 1)时，(y)有最小值(0)。
再看抛物线(y = \frac{1}{2}(x + 1)^2)，开口向上，对称轴为直线(x = -1)，顶点坐标为(( -1, 0))。增减性为在对称轴左侧，即(x < -1)时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > -1)时，(y)随(x)的增大而增大。开口向上，在顶点处取得最小值，即当(x = -1)时，(y)有最小值(0)。
通过以上四个例子，由特殊到一般归纳总结二次函数(y = a(x - h)^2)的图像与性质：
当(a > 0)时，开口向上；(a < 0)时，开口向下。对称轴为直线(x = h)，顶点坐标为((h, 0))。
当(a > 0)时，在对称轴左侧，即(x < h)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > h)时，(y)随(x)的增大而增大。
当(a < 0)时，在对称轴左侧，即(x < h)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > h)时，(y)随(x)的增大而减小。
最值方面，当(a > 0)时，开口向上，在顶点处取得最小值，即当(x = h)时，(y)有最小值(0)；当(a < 0)时，开口向下，在顶点处取得最大值，即当(x = h)时，(y)有最大值(0)。
接下来学习本节课的第二个重要知识点，抛物线(y = ax^2)与(y = a(x - h)^2)的平移变化规律。
同样从几个特殊例子出发，活动一：抛物线(y = -\frac{1}{2}x^2)与抛物线(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)有什么关系呢？平移这一几何变换主要改变图像的位置，对形状及大小无影响，而二次函数的位置主要由对称轴及顶点决定。所以我们从对称轴及顶点两个方面观察。
首先在平面直角坐标系中画出(y = -\frac{1}{2}x^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像，然后分别从顶点坐标以及对称轴两个方面考虑。
(y = -\frac{1}{2}x^2)的顶点坐标为((0, 0))，(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的顶点坐标为((1, 0))，从((0, 0))到((1, 0))，可理解成向右平移了一个单位长度。
再看对称轴，(y = -\frac{1}{2}x^2)的对称轴可理解为(y)轴，即直线(x = 0)；(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的对称轴为直线(x = 1)，从直线(x = 0)到直线(x = 1)，同样可理解成把直线(x = 0)向右平移一个单位长度。
由此猜想，(y = -\frac{1}{2}x^2)是否可通过向右平移一个单位长度得到(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像呢？接下来验证一下。
把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向右平移一个单位长度，发现它和(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像重合了，验证了猜想成立，即(y = -\frac{1}{2}x^2)向右平移一个单位长度可以得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)。
活动二：抛物线(y = -\frac{1}{2}x^2)与(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)有什么关系呢？
同样先在平面直角坐标系里画出这两个抛物线，从顶点坐标以及对称轴两个角度考虑。
(y = -\frac{1}{2}x^2)的顶点坐标为((0, 0))，(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的顶点坐标为(( -1, 0))，从((0, 0))到(( -1, 0))，可理解成向左平移了一个单位长度。
再看对称轴，(y = -\frac{1}{2}x^2)的对称轴为(y)轴，即直线(x = 0)；(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的对称轴为直线(x = -1)，从(x = 0)到(x = -1)，也可理解成向左平移了一个单位长度。
由此大胆猜想，函数(y = -\frac{1}{2}x^2)到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)能否通过向左平移一个单位长度得到呢？接下来验证猜想。
把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向左平移一个单位长度，发现它和(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像重合了，猜想成立，即(y = -\frac{1}{2}x^2)向左平移一个单位长度可以得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)。左移一个是加一，右移一个是减一。
由此从特殊到一般归纳总结出(y = ax^2)与(y = a(x ± h)^2)的关系：(y = ax^2)向左平移(h)个单位长度，可以得到(y = a(x + h)^2)；(y = ax^2)向右平移(h)个单位长度，可以得到(y = a(x - h)^2)。归纳为四个字：左加右减。
接下来针对本节课内容进行练习。
第一题，抛物线(y = -3(x - 2)^2)的开口方向、对称轴以及顶点坐标分别是什么？请大家思考。
由抛物线的解析式可知(a < 0)，开口显然向下。根据(y = a(x - h)^2)的性质，对称轴为直线(x = h)，所以(y = -3(x - 2)^2)的对称轴为直线(x = 2)。(y = a(x - h)^2)的顶点坐标为((h, 0))，因此本题顶点坐标为((2, 0))。
第二题，(a > 0)，所以开口向上。把(y = 3(x + 2)^2)处理成(y = 3(x - (-2))^2)，根据(y = a(x - h)^2)的性质，可得对称轴为直线(x = -2)，顶点坐标为(( -2, 0))。
第三题，将抛物线(y = -2x^2)向左平移一个单位长度，再向右平移(3)个单位长度，得到的解析式是什么？
根据口诀“左加右减”，先把(y = -2x^2)向左平移一个单位长度，在(x)上加(1)，得到(y = -2(x + 1)^2)；再向右平移(3)个单位长度，在(x)上减(3)，得到(y = -2((x + 1) - 3)^2)。最后化简，得到(y = -2(x - 2)^2)。这里要注意，“左加右减”是在(x)上进行加减，记得加括号。
第四题，抛物线(y = 3(x + 2)^2)的增减性以及最值。
为更好解决这道题，先画出抛物线(y = 3(x + 2)^2)的草图，它的对称轴是(x = -2)，顶点坐标是(( -2, 0))，由此可大概得到它的图像。
显然开口向上，在对称轴左侧，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，(y)随(x)的增大而增大，即当(x > -2)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x < -2)时，(y)随(x)的增大而减小。开口向上，在顶点处取到最小值，即当(x = -2)时，二次函数有最小值(0)。
接下来进行课堂小结。本节课主要知识点有两个：
一是二次函数(y = a(x - h)^2)的性质。二次函数的性质通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及最值这五个角度归纳总结，大家要理解记忆。
二是二次函数(y = ax^2)与(y = a(x - h)^2)的平移变化规律，简单总结为“左加右减”，是在(x)上进行加减。
第三，本节课主要用到的思想方法是数形结合以及从特殊到一般。
本节课到此结束，谢谢大家的观看。