师：各位同学，今天我们复习高一物理粤教版必修2圆周运动单元。现在回顾知识网络，圆周运动主要包含哪些知识呢？首先是描述圆周运动的物理量，有线速度、角速度、周期、频率、转速。它们之间的关系为：(v = \omega\times r)，(\omega = \frac{2\pi}{t})，所以(v = \frac{2\pi r}{t})。还有向心加速度和向心力，向心加速度(a_n = \frac{v^{2}}{r} = \omega^{2}r = \frac{4\pi^{2}}{t^{2}}r)。根据牛顿第二定律(F_{合}=ma)，可得(F_{向}=ma_{向})。
接着看应用方面，圆周运动的应用主要有两部分，即水平面内的圆周运动和竖直面内的圆周运动。水平面内的圆周运动包含汽车在水平面内转弯、火车在水平面内转弯以及圆锥摆等。竖直面内的圆周运动，比如汽车过拱桥最高点，根据动力学方程可得(mg - F_N = \frac{mv^{2}}{r})。
竖直面内圆周运动有两个重要模型。第一个是绳模型，在最高点，根据动力学，恰好过最高点时满足(mg = \frac{mv^{2}}{r})，由此可得恰好过最高点的临界速度(v_{临界}=\sqrt{gr})。另一个是杆模型，在最高点时，它可以有支持力等于重力，此时合外力等于(0)，所以过最高点的临界速度(v_{临界}=0)。圆周运动应用的本质，核心思想在于合外力等于向心力，即物体受到的合外力提供它所需的向心力。
然后是离心现象，有时我们需要利用离心现象，有时则需要防止。物体出现离心现象的原因是所受到的合外力不足以提供它所需要的向心力。
这就是知识网络的回顾，接下来通过练习复习。先看第一题，如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子半径之比为(1:3)。在传动过程中，因为两齿轮边缘相连，边缘处线速度大小相等，所以C选项错误，线速度之比应为(1:1)。根据弧长公式(\Delta s = v\Delta t)，在相等时间内走过的弧长相等，所以D选项正确。
看A选项，比较角速度，根据(v = \omega r)，则(\frac{\omega_{甲}}{\omega_{乙}} = \frac{\frac{v_{甲}}{r_{甲}}}{\frac{v_{乙}}{r_{乙}}})，因为(v_{甲}=v_{乙})，所以(\frac{\omega_{甲}}{\omega_{乙}} = \frac{r_{乙}}{r_{甲}} = 3:1)，A选项正确。同样对于周期比较，由(t = \frac{2\pi}{\omega})，可得(\frac{t_{甲}}{t_{乙}} = \frac{\frac{2\pi}{\omega_{甲}}}{\frac{2\pi}{\omega_{乙}}} = \frac{\omega_{乙}}{\omega_{甲}} = 1:3)，所以B选项错误。本题正确选项是A和D。
再看第2题，如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁光滑，内壁上有两个质量相等的小球(a)和(b)在各自不同水平面内做匀速圆周运动。先对小球受力分析，任取一小球，它受到重力和内壁给的支持力。小球在水平面内做匀速圆周运动，所需向心力指向水平方向，由重力和支持力的合力提供。设内壁与竖直方向夹角为(\theta)角，根据力的合成可知，向心力即合外力(F = \frac{mg}{\tan\theta})，支持力(F_N = \frac{mg}{\sin\theta})。
根据牛顿第三定律，小球受到内壁的支持力与小球对内壁的压力等大反向，所以小球对内壁的压力(F_N)也等于(\frac{mg}{\sin\theta})。因为(a)、(b)两小球质量相同，(\theta)角也相同，所以两个小球向心力大小相等，小球对内壁压力(F_N)大小也相同，即(F_{Na}=F_{Nb})，D选项错误。合外力即向心力(F = \frac{mg}{\tan\theta})，根据牛顿第二定律(F = ma)，加速度(a = \frac{g}{\tan\theta})，由于(\theta)角相同，所以加速度(a)相同，(a_a = a_b)，C选项错误。
看A、B选项，根据向心力公式(F = mr\omega^{2})，(a)、(b)两小球向心力大小相等，半径大的角速度小，所以(\omega_a < \omega_b)，B选项错误。再根据向心力公式(F = m\frac{v^{2}}{r})，向心力大小相等，半径大的线速度大，所以(v_a > v_b)，A选项正确。
接着看第3题，公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶速率为(V_0)时，汽车恰好没有向内外两侧滑动的趋势。先看A选项，这里汽车转弯，左边图内侧高、外侧低，右边图内侧低、外侧高。对于汽车，左边图受重力、支持力，合外力指向水平向右外侧；右边图受重力、支持力，合外力指向内侧。因为汽车在水平面内转弯，圆心在水平面内且在内侧，根据动力学分析，合外力要提供向心力，向心力指向圆心，所以正确的是右边图，内侧低、外侧高，A选项正确。
看B选项，当速度小于临界速度(V_0)时，会得到合外力大于向心力，会做近心运动。但它想做近心运动，因有侧边滑动趋势会有指向外侧的摩擦力。不过只有速度足够小，使摩擦力达到最大静摩擦力时才会往内侧滑动，所以只要速度不是太小，就不会往内侧滑动，B选项错误。
看C选项，同理，若(v > V_0)，会出现合外力小于所需向心力，会做离心运动。但只要有往外滑动趋势，就会有指向内侧的摩擦力。只要车速不是太大，就不会往外侧滑动，C选项正确。
对于D选项，路面结冰改变的是摩擦因数。当没有内外两侧滑动趋势时，汽车受重力、支持力，合力水平方向指向圆心，根据动力学方程(F_{合}=mg\tan\theta = m\frac{V_0^{2}}{r})，可得(V_0 = \sqrt{gr\tan\theta})。这是在没有侧边摩擦力情况下计算出来的，而路面结冰不影响此(V_0)，所以D选项错误。本题正确答案是A和C。
刚才两道练习是水平面内的圆周运动，接下来看竖直面内圆周运动的题目。下一题，一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图所示，(b)、(a)两点在同一水平线，由于轮胎太旧，找途中爆胎可能性最大的路段。汽车轮胎受到的支持力越大，形变量越大，越容易爆胎，所以就是找支持力最大的位置。
先看(a)点，在(a)点汽车受重力、支持力、往前的牵引力和往后的摩擦力，因为在水平面上，所以重力等于支持力。再看(c)点，(c)点是拱桥最高点，受重力、支持力、往前的牵引力和往后的摩擦力。在圆周运动最高点，根据动力学方程(mg - F_{Nc} = m\frac{v^{2}}{r})，可得(F_{Nc} = mg - m\frac{v^{2}}{r})，它小于(mg)。(b)、(d)两点属于凹桥模型最低点，受重力、支持力、往前的牵引力和往后的摩擦力，根据动力学方程(F_N - mg = m\frac{v^{2}}{r})，可得(F_N = mg + m\frac{v^{2}}{r})，它大于(mg)。因为半径(R_b > R_d)，代入可得(F_{Nb} < F_{Nd})。
综上，(c)点支持力最小，(d)点支持力最大，本题正确答案是(d)。
再看下一题，在游乐园乘坐过山车，质量为(m)的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，重力加速度为(g)。人随车在竖直平面内做圆周运动到最高点时，对人进行受力分析，人在最高点受到重力和车给人向下的作用力。设人过最高点速度为(V_1)，根据动力学关系可得(mg + F_N = m\frac{V_1^{2}}{r})，则(F_N = m(\frac{V_1^{2}}{r} - g))。
临界情况是只有重力提供向心力，当(V_1 = \sqrt{gr})时恰能过最高点。当(V_1 \geq \sqrt{gr})时就能过最高点，即没保险带也不会掉下，所以A选项错误。当(V_1 \geq \sqrt{gr})时，(F_N > 0)，车会给人一个向下的作用力，人也会给车一个反作用力，即对座位产生压力。从式子可知，压力(F_N)大小取决于过最高点速度(V_1)，所以它可能大于(mg)，也可能小于等于(mg)，因此B选项错误。
看C、D选项，在最低点对人进行受力分析，人受到重力(mg)以及车对人向上的作用力(F_N')。设人过最低点速度为(V_2)，在最低点根据动力学关系可得(F_N' - mg = m\frac{V_2^{2}}{r})，则(F_N' = m(\frac{V_2^{2}}{r} + g))。从这个表达式可知(F_N' > mg)，这里(F_N')是车对人向上的支持力，根据牛顿第三定律，人对座位的压力与之等大，也大于(mg)，所以D选项正确。
看C选项，过山车在最低点和最高点速率不同，最低点快，最高点慢，所以两处向心力大小(m\frac{v^{2}}{r})不等，向心加速度大小也不同，因此C选项错误。最后答案是D选项。
刚才两道练习是竖直面内的圆周运动，接下来看离心现象的练习。如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动。先看A选项，对衣服进行受力分析，衣服受到重力(mg)、桶壁给的竖直向上的静摩擦力(f)以及桶壁给的指向圆心的支持力。重力和静摩擦力是一对平衡力，大小相等，向心力由桶壁给的支持力提供，所以A选项错误。
根据向心力公式(F_N = m\omega^{2}r)，当脱水桶转动角速度增大后，支持力(F_N)增大。根据牛顿第三定律，衣服对桶壁的压力也增大，所以C选项正确。再看B、D选项，对衣服上的水滴进行受力分析，水滴做圆周运动的向心力由衣服对水滴的附着力提供，说水滴受向心力这种说法不正确，所以B选项错误。还是根据向心力公式(mr\omega^{2})，随着脱水桶转动角速度增加，需要的向心力增大。当衣服对水滴的附着力不足以提供所需向心力时，衣服上的水滴就会做离心运动，脱水效果越好，所以D选项正确。最后答案选CD。
接下来看一道较为综合性的题目。如图所示，半径为(r)的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方(h)处沿(OB)方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为(g)，要使球与盘只碰一次且落点为(b)（(b)为圆盘边缘上的点），求小球初速度(v)的大小及圆盘转动的角速度(\omega)。
这是一道综合性问题，涉及圆周运动和平抛运动。解决关键是抓住两运动关联性，小球做平抛运动同时圆盘做匀速转动，两者关联点在于时间相同。当小球从出发点落到(b)点过程中，要使圆盘和球只碰一次，说明这段时间内圆盘再次转回到(b)点。
先假设小球在空中运动时间为(t)，由平抛运动知识可得，平抛运动在水平方向位移是(r)，即(r = vt)；竖直方向位移是(h)，(h = \frac{1}{2}gt^{2})。由这两个式子可解出时间(t = \sqrt{\frac{2h}{g}})，将其代入(r = vt)，可解出小球初速度大小(v = r\sqrt{\frac{g}{2h}})。
接下来看圆盘转动，在同样时间(t)内，假设圆盘转过(\theta)角。要使小球与盘子只碰一次且在(b)点碰，意味着这段时间内圆盘再次转回到(b)点，圆盘转过的角度(\theta = 2\pi n)（(n)取(1,2,3,\cdots)正整数）。
已知转过角度(\theta)和时间(t)，根据(\theta = \omega t)，可解出圆盘角速度(\omega = \frac{n\cdot 2\pi}{t})，再代入(t)的式子，可得(\omega = 2n\pi\sqrt{\frac{g}{2h}})，这里(n)取正整数。
接下来看临界问题的练习。如图所示，(a)为置于距圆桌转盘中心(r_1)处的杯子，装满水总质量为(2m)。另有一空杯子(b)，质量为(m)，置于距圆盘中心(r_2)处，已知(r_2 = 2r_1)。圆盘从静止开始缓慢加速转动，两杯子与桌面间动摩擦因数均为(\mu)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且均未相对桌面滑动。用(\omega)表示圆盘转动的角速度。
杯子随圆盘一起转动，对杯子受力分析，杯子受到重力、支持力以及静摩擦力，重力与支持力是一对平衡力，由静摩擦力提供向心力。这道题涉及滑动临界问题，当物体刚要开始滑动，临界条件是达到最大静摩擦力。
对(a)刚要开始滑动的情形分析，最大静摩擦力等于滑动摩擦力充当此时向心力，根据动力学关系可得(\mu\cdot 2mg = 2m\omega_a^{2}r_1)，解出(\omega_a = \sqrt{\frac{\mu g}{r_1}})。同样，对于(b)刚要滑动时，可列出(\mu mg = m\omega_b^{2}r_2)，解出(\omega_b = \sqrt{\frac{\mu g}{r_2}} = \sqrt{\frac{\mu g}{2r_1}})。对比(\omega_a)和(\omega_b)，可得滑动临界角速度(\omega_b)更小，所以(b)先开始滑动，(b)比(a)先达到最大静摩擦力，所以A、C选项正确。
看B选项，在杯子(b)摩擦力没达到最大静摩擦力之前，两个杯子都由静摩擦力提供向心力。根据动力学关系，对(a)、(b)两个杯子分别列式：(F_a = 2m\omega^{2}r_1)，(F_b = m\omega^{2}r_2 = 2m\omega^{2}r_1)。对比两条表达式可知，(a)、(b)两个杯子摩擦力大小相等，但方向不同，所以B选项错误。
看最后的D选项，当(\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{2r_1}})时，此时(b)刚要开始滑动，而(a)还没达到临界角速度，所以(a)还没发生相对滑动，此时(a)受到的还是静摩擦力，(F = 2m\omega^{2}r_1 = \mu mg)，所以D选项正确。题目要求选说法不正确的，因此答案是B。
好，本节课内容到此结束，谢谢大家聆听。