师：今天我们一起来学习功和功率的应用。主要内容有三个：第一，使用FS Cosine Alpha求恒力和变力做功；第二，计算平均功率和瞬时功率；第三，机车启动问题。
首先看第一个问题：质量是m的物体沿斜面由顶端滑到底端，遇到挡板后反弹回斜面中点，求这个过程当中重力和摩擦力做的功。这个问题和以前遇到的不同，物体运动方向发生了改变。我们可以把运动分为沿斜面向下和沿斜面向上两段。
求重力做功时，沿斜面向下过程，重力做功可以用MGS Cosine Alpha来计算。反弹后，重力做的功是重力乘以位移，再乘以它们之间夹角的余弦值，这里夹角是cosine 180度减阿尔法，即重力做功为MG二分之s cosine 180度减阿尔法。而COS 180度减阿尔法等于负的cos阿尔法，把沿斜面向下和沿斜面向上两段重力做的功相加，得到整个过程重力做的总功是MG s/ 2 Cosine Alpha。观察这个式子，二分之s是物体的总位移，Alpha是重力和总位移之间的夹角，这个结果非常契合功的定义式FS Cosine Alpha。所以，求重力做功不需要分段，直接带入公式w = m g 二分之s cosine 阿尔法就能得到重力做的功。
接着看摩擦力做的功，能不能直接用公式f乘以总位移，再乘以COS 180度来计算呢？好像不行。因为重力在整个过程中大小和方向始终不变，但摩擦力在沿斜面向下运动时向上，沿斜面向上运动时向下，方向发生了变化。最保险的方式就是分段求摩擦力做的功。物体从顶端到底端，摩擦力做的功可表达成负的f乘以s；从底端再回到斜面中点，摩擦力做的功是f乘以二分之s cos 180度，也就是负的f乘以二分之s。整个过程摩擦力做的总功就是二者相加，即负的f（s + 二分之s）。这里s + 二分之s不是总位移，而是总路程。由此可见，w = f s cosine Alpha只适用于求恒力做功。重力大小方向不变，可用该公式求功；但摩擦力方向变化，不能直接用此公式，要分段求解。
这种分段求变力做功的方式，能不能解决更复杂的问题呢？比如在水平面上用细绳拴住一个小球，让小球做圆周运动，求摩擦力和绳子的拉力对小球做的功。在这个过程中，摩擦力方向与小球相对于桌面的运动方向时刻相反，方向时刻都在变化。
如果用分段方式求，取一个Delta X1，要在这一段很小的位移内，让摩擦力f大小和方向都不变，Delta X1就要非常非常小，几乎趋近于零。这样就能求出这一段位移内摩擦力做的功，即负的F1 Delta X1。接着再取第二段Delta X2，同样在Delta X2范围内满足摩擦力F2大小和方向都不变，Delta X2也是几乎趋近于零的线段，可求出这一段摩擦力F2做的功W2 = 负的F2乘以Delta X2。以同样道理，把整个圆周画成无限多小段，将每小段摩擦力做的功叠加，就能求出整个圆周运动一周摩擦力做的总功。这种无限分割、化曲为直、化变力为恒力的方式，称为微元法求变力做功。
在这个问题中，摩擦力大小恒为f，即F1、F2、F3一直到FN都等于f ，把f提取出来，Delta X1 + Delta X2 + …… 因为每段位移都趋近于0，它们相加就是小球运动轨迹的长度，也就是圆周的周长。由于摩擦力方向始终和运动方向相反，所以摩擦力做的功就是摩擦力乘以小球运动的路程，即周长。
那能不能用同样方式求拉力做的功呢？拉力方向始终沿着绳子方向指向圆心，一直在改变。用无限分割方式，先取一段微小位移Delta X1，若认为Delta X1范围内拉力几乎不变，Delta X1的方向和拉力几乎垂直，所以这一段位移内拉力做的功等于0。同样，再取一段位移Delta X2，拉力还是和Delta X2垂直，拉力做的功还是0。依此类推，因为拉力始终和运动方向垂直，也就是和取的无限小位移垂直，所以整个加起来拉力不做功。以前学过的圆周运动中，向心力和拉力有相同特点，方向始终和运动方向垂直，所以向心力始终不做功。
我们介绍了微元法求变力做功的思想方法，相信大家以后遇到其他情况也能用这种方式处理。接下来看关于功率的两个问题。
质量为m的小球沿光滑斜面顶端由静止滑到底端，求整个过程当中重力做功的平均功率和落地时重力的瞬时功率。我们知道平均功率的求解方式是p = w / t，要求重力做功的平均功率，就要先求从顶端到底端重力做的功，即MGS Cosine Alpha，再求从顶端到底端所用时间。用运动学公式s = 1/ 2 at2，这里的加速度是重力沿斜面方向的分力造成的，加速度a = g Cosine Alpha 。求出重力做的功和时间，代入公式就能得到重力的平均功率。